By Claus Scheiderer
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Dr > 1 mit d1 | d2 | · · · | dr und mit G ∼ = Z/d1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/dr Z. Man nennt d1 , . . , dr die Elementarteiler von G. (b) F¨ ur jede Primzahl p ist G(p) := {g ∈ G : ∃n ∈ N mit pn g = 0} eine Untergruppe von G, genannt die p-prim¨are Komponente von G. Sind p1 , . . , ps die verschiedenen Primteiler von |G|, so ist G = G(p1 ) ⊕ · · · ⊕ G(ps ). (c) Sei p ein Primteiler von |G|. Es gibt k ∈ N und e1 ≤ · · · ≤ ek in N mit k G(p) ∼ = Z pej Z. j=1 Dabei sind k und e1 , . . , ek eindeutig bestimmt.
R), so wird G von g := (g1 , . . , gr ) erzeugt. Denn nach dem Chinesischen Restsatz ist die Abbildung Z → Z/d1 Z × · · · × Z/dr Z, n → (n + d1 Z, . . , n + dr Z) surjektiv. Eine abelsche Gruppe ist nichts anderes als ein Z-Modul. Als Folge des Elementarteilersatzes (siehe B2) haben wir insbesondere die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen zur Verf¨ ugung. 7 Theorem. Sei G eine endliche abelsche Gruppe. (a) Es gibt r ≥ 0 und eindeutig bestimmte nat¨ urliche Zahlen d1 , .
4. Separable Polynome und vollkommene K¨ orper Sei stets K ein K¨ orper. 1 Definition. Sei 0 = f ∈ K[x] und a ∈ K. Z. e = µ(f, a). Ist µ(f, a) = 1, so heißt a eine einfache Nullstelle von f . Es gilt µ(f, a) = 0 ⇔ f (a) = 0. Formal schreiben wir auch µ(0, a) = ∞ f¨ ur alle a ∈ K. 2 Bemerkungen. 1. Die Vielfachheit einer Nullstelle ¨andert sich nicht, wenn man den K¨orper vergr¨ oßert. 2. Jedes Polynom f = 0 in K[x] hat h¨ochstens deg(f ) viele Nullstellen in K, gez¨ ahlt mit Vielfachheit. 3 Definition.
