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By Jürgen Müller

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Dann gilt  ∞ = ∞ falls d = 1 1 = . ν d < ∞ falls d > 1 ν=1 (Denn: F¨ ur d = 1 ergibt sich die Behauptung aus B. 12. F¨ ur d > 1 ist 1 1 1 ≤ 2 ≤ =: bν . d ν (ν − 1)ν ν ¨ Weiter ist ([U]) n ν=2 ∞ also ist ν=2 1 (ν−1)ν 1 1 =1− →1 (ν − 1)ν n (n → ∞) ∞ = 1. Damit ist bν eine konvergente Majorante. Mit B. 15 (Wurzelkriterium/Quotientenkriterium) ∞ aν eine Reihe mit aν ≥ 0. Weiter existiere eine Folge (δν ) mit δν → δ < 1 Es sei ν=0 und √ ν oder (aν > 0 und) ∞ aν < ∞. Dann ist ν=0 aν ≤ δ ν (ν ≥ n0 ) aν+1 ≤ δν aν (ν ≥ n0 ).

Q| = 1 + b mit einem b > 0. Mit der Bernoullischen Ungleichung gilt |q n | = (1 + b)n ≥ 1 + nb (n ∈ N) , d. h. 3 Es sei im Weiteren stets N, I ⊂ Z nach oben unbeschr¨ ankt und nach unten beschr¨ankt. Ist Y = ∅ eine Menge, (an ) = (an )n∈N eine beliebige Folge in Y und I ⊂ N , so heißt (an )n∈I eine Teilfolge von (an )n∈N . Wir schreiben im Fall der Konvergenz der Teilfolge (an )n∈I dann auch an → a (n → ∞, n ∈ I). Aus der Definition ergibt sich unmittelbar f¨ ur Folgen (an ) in K: Ist (an ) konvergent, so ist auch jede Teilfolge konvergent (mit gleichem Grenzwert).

N F¨ ur Konvergenzuntersuchungen ist es also unwichtig, wie die untere Summationsgrenze aussieht. Wir werden daher im Weiteren meist o. E. n0 = 0 (oder n0 = 1) betrachten. 11 Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Konvergenz einer Reihe ist, ∞ aν konvergent, so gilt dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, d. h. ist ν=0 an → 0 (n → ∞). 12 1. Ist an = q n mit |q| ≥ 1, so ist |an | ≥ 1 (n ∈ N), also ist ∞ q ν sicher ν=0 divergent. Damit ergibt sich f¨ ur geometrische Reihen insgesamt: ∞ q ν ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 ist.

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