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By Thomas Markwig

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Wir sagen, G operiert transitiv auf Ω (bz. Ω ist eine transitive GMenge), falls Ω selbst eine Bahn von G auf Ω ist. c. Die Menge Gω := {g ∈ G | gω = ω} heißt der Stabilisator von ω ∈ Ω. 6 Beispiel 27 a. 4 b. und c. sind transitiv. ¨ 0 = c ∈ C, daß die Bahn cR von c unter R ein b. 4 e. gilt fur Kreis vom Radius |c| ist und daß der Stabilisator Rc gerade die additive Gruppe (Z, +) ist. ¨ n≥5 c. 4 f. fur ¨ n = 3 und n = 4 besitzt sie jeweils zwei Bahnen, wie transitiv ist. Fur ¨ (Vgl. ) man leicht nachpruft.

Eine Vielzahl von einzelnen Klassifikationssatzen findet sich in [Hup67] an den verschiedensten Stellen oder kann Originalquellen wie [H¨ol93] ¨ ¨ entnommen werden. Alle hier angefuhrten Satze sind aber mit (u. U. ¨ ¨ verbesserungswurdigen) Beweisvorschlagen versehen. ¨ c. Alle im folgenden Kapitel enthaltenen Satze sollen im Vortrag zu die¨ sem Kapitel dargeboten werden. Aus Zeitgrunden kann ggf. 2 entfallen. 2 Lemma Seien p < q Primzahlen mit q ≡ 1(mod p) und a, ¯ b¯ ∈ Z∗q , der multiplikativen Gruppe des K¨orpers Zq , mit o a¯ = p.

4 c. 7 formuliert und in Kapitel 3 ¨ bewiesen. B. dem ¨ sich ein kurzerer ¨ Begriff des Stabilisators, laßt Beweis angeben. 11 Korollar Es sei G ein endliche Gruppe, p der minimale Primteiler von |G| und N < G mit p = |G : N|. Dann ist N ✁ G. Beweis: Vgl. 25. 12 Satz (Frattiniargument) Die Gruppe G operiere auf der Menge Ω, U ≤ G und Ω sei transitive U-Menge. Dann gilt fur ¨ alle ω ∈ Ω: G = Gω U. 28 Beweis: Vgl. 3. 4 e. 6 b. nach. 4 zeige man, daß Z2 auf einer beliebigen abelschen Gruppe durch Inversion via Automorphismus operiert.

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