New PDF release: Finanzmathematik in diskreter Zeit

By Nicole Bäuerle, Ulrich Rieder

Dieses Lehrbuch bietet eine leicht verständliche Einführung in die moderne Finanzmathematik und erläutert grundlegende mathematische Konzepte der Optionsbewertung, der Portfolio-Optimierung und des Risikomanagements. Hierzu gehören die Preisbestimmung durch Arbitrageüberlegungen, die Preisbestimmung von amerikanischen Optionen über die Lösung optimaler Stopp-Probleme, die Bestimmung von optimalen Konsum- und Investitionsstrategien und Erwartungswert-Varianz Portfolios. Aktuelle Konzepte der Risikomessung wie price in danger und anticipated Shortfall werden ebenso vorgestellt.Grundlagen in Stochastik und Optimierung reichen für das Verständnis der Inhalte aus und zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen sowie drei Anhänge erleichtern das Selbststudium.

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Sie beinhaltet alle Vektoren, die von erreichbaren, diskontierten Zahlungsansprüchen mit Preis null dominiert werden. Außerdem gilt aufgrund der Interpretation der Menge L, dass der Markt arbitragefrei ist, m genau dann, wenn L \ Rm C D f0g bzw. genau dann, wenn C \ RC D f0g. Wir benötigen noch folgendes Hilfslemma. 1 Für jedes Z … C gibt es ein Q 2 M mit EQ ŒZ > 0. x/ D a x und einer Zahl 2 R, sodass m X ai Hi Ä < i D1 m X für alle H 2 C: ai Zi ; i D1 Aus 0 2 C folgt insbesondere, dass m X 0< ai Zi : i D1 Mit H 2 C ist auch nH 2 C für alle n 2 N, da C ein Kegel ist.

1; : : : ; 1/ 2 Rj˝ t j linear unabhängig sind und d C 1 D j˝ t j. Anders ausgedrückt: Besteht zwischen der Preisentwicklung der d risikobehafteten Wertpapiere keine lineare Abhängigkeit, existiert ein eindeutiges Martingalmaß im Allgemeinen nur, falls j˝ t j D d C 1 gilt, d. h. wenn die Anzahl der Wertpapiere gleich der Anzahl der möglichen Marktentwicklungen ist. yjh t 1 / > 0, so gilt für das zugehörige Q sogar Q 2 M? und damit auch (NA). Im Cox-Ross-Rubinstein-Modell gilt z. B. j˝ t j D 2. 1 C r; 1 C r/ linear unabhängig, falls d < 1 C r < u gilt.

Die Filtration darf also keine weiteren Informationen über ökonomische Faktoren enthalten. In diesem Sinne sind unvollständige Märkte, die wir in Kap. 4 betrachten, natürlicher. 5. 2 Es gelte (NA), und es sei Q 2 M? ˛ t / besitzt. F t /-Martingal unter Q. Dann ist H WD MT BT ein FT -messbarer Zahlungsanspruch. ˛; ˇ/ mit VT D H bzw. ' VT BT D MT . 2 X Vt ' ' D V0 C G t˛ D V0 C ˛n Bt nD1 t ' 1 SQn ; folgt die Martingaldarstellung. Es gelte jetzt die Martingaldarstellung. 2 c)) und V0 WD M0 2 R. ˛ t / mit t ' X V M t D M0 C ˛n 1 SQn D M0 C G t˛ D t : Bt nD1 Insbesondere gilt H BT D MT D ' VT BT , und damit folgt die Vollständigkeit des Marktes.

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