Funktionentheorie II [Lecture notes] by Christoph Schweigert PDF

By Christoph Schweigert

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1 z − a, daher hat die 2. Allgemeiner hat die rationale Funktion f (z) = (z − a1 )ν1 . . (z − an )νn (z − b1 )µ1 . . (z − bm )µm als Nullstellen in C die Punkte a1 , . . an , die gegebenenfalls bei mehrfachen Nullstellen mehrfach auftreten k¨onnen und die Polstellen b1 , . . bm , ebenfalls mit Vielfachheiten. Es gilt (1/z − a1 )ν1 . . (1/z − an )νn fˆ(z) = (1/z − b1 )µ1 . . (1/z − bm )µm Pn Pm (1 − a1 /z)ν1 . . (1 − an /z)νn = z − i=1 νi + i=1 µi · (1 − b1 /z)µ1 . . (1 − bm /z)µm so dass f bei ∞ Ordnung − ni=1 νi + m ahlt man alles zusammen, so hat eine i=1 µi hat.

2. 4 auch Eigenschaft 3. 4 einen von Null verschiedenen Grenzwert f¨ ur Im (z) → ∞, aber |e−2πiz | = e2πIm (z) w¨achst dann u ber alle Grenzen. -3. 5. Die Funktion gk (z) := Gk ( z+1 ) 2 mit k > 2 erf¨ ullt die Transformationsformeln gk (z + 2) = gk (z) Beweis. Die Periodizit¨at mit 2 ist klar. F¨ ur A = A( und somit und 1 gk (− ) = z k gk (z) . z 1 −1 2 −1 ∈ Γ gilt −1 + 1 z+1 )= z 2 2 1 z+1 gk (− ) = (2 · − 1)k gk (z) = z k gk (z) . 4. Aber alle Linearkombinationen fa,b (z) := a · G4 (z) + b · G4 ( z+1 ) 2 mit a, b ∈ C erf¨ ullen die gew¨ unschten Transformationsformeln und haben einen endlichen Grenzwert f¨ ur Bedingung 3: lim Im (z)→∞ aG4 (z) + bG4 ( z+1 ) = 2(a + b)ζ(4) .

Dann existieren nur endlich viele Elemente M ∈ Γ mit der Eigenschaft M F(δ) ∩ F(δ) = ∅ . 44 Beweis. a b unschten Eigenschaft. Gilt c = 0, so ist wegen ∈ Γ ein Element mit der gew¨ c d der Determinantenbedingung ad = 1, also liegt eine Translation z → z + db vor. Da die Realteile von z und M z beschr¨ankt sind, kommen nur endlich viele Translationen f¨ ur M in Betracht. Wir k¨onnen uns also auf den Fall c = 0 beschr¨anken. Sei z ∈ M F(δ) ∩ F(δ). Dann gilt Sei M = y := Im z ≥ δ und y = Im (M z) ≥ δ .

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